Diposting oleh kevin wahyu , Rabu, 25 Februari 2015 06.16

Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Posted on Agustus 15, 2014by 
A. Nilai Mutlak
Nilai mutlak adalah jarak pada garis bilangan real antara bilangan yang dimaksud dengan dengan nol.
untuk  x bilangan real didefinisikan \left | x \right |=\left\{\begin{matrix} x &jika & x\geqslant 0\\ -x&jika & x< 0 \end{matrix}\right.
Contoh:
\left | 8 \right |=8,
\left | -8 \right |=8,
\left | 0 \right |=0

B. Persamaan Nilai Mutlak
Sifat-sifat nilai mutlak
  1. \left | ab \right |=\left | a \right |.\left | b \right |
  2. \left | \frac{a}{b} \right |=\frac{\left | a \right |}{\left | b \right |}
  3. \left | a+b \right |\leq \left | a \right |+\left | b \right |,  (ketaksamaan segitiga)
  4. \left | a-b \right |\geqslant \left | \left | a \right |-\left | b \right | \right |
  5. \sqrt{x^{2}}=\left | x \right |
  6. \left | x \right |^{2}=x^{2}
  7. \left | x \right |< a\Leftrightarrow -a< x< a
  8. \left | x \right |> a\Leftrightarrow x<-a atau x> a

Contoh Soal:
1. Tentukan nilai x  yang memenuhi \left | x-3 \right |=2014
Jawab:
  • x-3=2014 ………………… 1)
  • -(x-3)=2014  ……………. 2)
Dari persamaan (1) diperoleh  x=2014+3=2017, dan dari persamaan (2) diperoleh -x+3=2014 \Rightarrow x=3-2014=-2011.
Jadi, nilai x yang memenuhi adalah x=-2011 atau x=2017

2. Tunjukkan bahwa \left | mn \right |=\left | m \right |.\left | n \right |
Bukti:
\left | mn \right |=\sqrt{(mn)^{2}}=\sqrt{m^{2}.n^{2}}=\sqrt{m^{2}}.\sqrt{n^{2}}=\left | m \right |.\left | n \right |

3. Tentukan nilai x yang memenuhi \sqrt{(x-3)^{2}}=7
Jawab:
\sqrt{(x-3)^{2}}=7
—————————————————   ,masing-masing ruas dikuadratkan
(x-3)^{2}=49 x^{2}-6x+9-49=0 x^{2}-6x-40=0 (x+4)(x-10)=0 x+4=0\:\: \: V\: \: x-10=0 x=-4\: \: \: atau\: \: x=10

4. Gambarkanlah grafik f(x)=\frac{\left | x \right |}{x} untuk x  bilangan real!
Jawab :
untuk
x=0\: \: \Rightarrow f(0)=\frac{\left | 0 \right |}{0}=\frac{0}{0} = tak tentu (indeterminate)
x=1\: \: \Rightarrow f(1)=\frac{\left | 1 \right |}{1}=\frac{1}{1}=1

x=2\: \: \Rightarrow f(2)=\frac{\left | 2 \right |}{2}=\frac{2}{2}=1

x=-1\: \: \Rightarrow f(-1)=\frac{\left | -1 \right |}{-1}=\frac{1}{-1}=-1

x=-2\: \: \Rightarrow f(-2)=\frac{\left | -2 \right |}{-2}=\frac{2}{-2}=-1

dan seterusnya
Perhatikanlah ilustrasi berikut ini
index.jpg27[sumber]
Soal Latihan
  1. Tentukan nilai dari \frac{\left | 40 \right |}{\left | 8 \right |}
  2. Tentukan nilai dari 2012-\left | 2013-\left | 2014 \right | \right |
  3. Tentukanlah nilai x yang memenuhi persamaan \left | x-20 \right |-30=23
  4. Carilah harga x yang memenuhi \sqrt{(x-5)^{2}}=-2
  5. Carilah harga x yang memenuhi \left | \frac{2x+3}{5} \right |=6
  6. Tunjukkan bahwa \left | \frac{x}{y} \right |=\frac{\left | x \right |}{\left | y \right |}
  7. Tunjukkan bahwa  \left | x \right |^{2}=x^{2}=\left | -x \right |^{2}
  8. Gambarlah grafik f(x)=\left | x \right |,\: \: untuk \: \: x\: \varepsilon \: R
  9. Gambarkanlah grafik f(x)=\left | 2x-1 \right |, untuk 1<x<10

C. Pertidaksaan Nilai Mutlak
Untuk k,\: x,\: y,\:  bilangan real dan k>0, maka
  • \left | x \right |\geqslant 0
  • \left | x+y \right |\leqslant \left | x \right |+\left | y \right |
  • \left | x-y \right |\leqslant \left | x \right |+\left | y \right |
  • Jika x<y, maka x^{2}<y^{2}
  • \left | x \right |\leq k\: \: \Leftrightarrow \: \: -k\leq x\leq k
  • \left | x \right |\geq k\: \: \Leftrightarrow \: x\leq -k\: \, atau\: x\geq k

Contoh Soal:
1. Tentukanlah himpunan penyelesaian dari \left | x-2014 \right |\leq 6
Jawab:
\left | x-2014 \right |\leq 6 -6\leq x-2014\leq 6\: \: \Leftrightarrow \: \: -6+2014\leq x-2014+2014\leq 6+2014\: \: \Leftrightarrow \: \: 2008\leq x\leq 2020 HP=\left \{ x\: |\: 2008\leq x\leq 2020,\: x\: \epsilon \: R\, \right \}

2. Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan harga mutlak dari \left | 2x-3 \right |\geq 5
Jawab :
  • 2x-3\leq -5\: \Leftrightarrow \: 2x\leq -5+3\: \Leftrightarrow \: 2x\leq -2\: \Leftrightarrow\: x\leq -1  , atau
  • 2x-3\geq 5\: \Leftrightarrow \: 2x\geq 5+3\: \Leftrightarrow \: 2x\geq 8\: \Leftrightarrow \: x\geq 4
Sehingga penyelesaiannya adalah  x\leq -1\: \: atau\: \: x\geq 4
3. Tentukan penyelesaian pertidaksamaan harga mutlak dari \frac{2}{1+x}\leq \left | x \right |
Jawab:
\frac{2}{1+x}\leq \left | x \right |\: \Leftrightarrow \: \left | x \right |\geq \frac{2}{1+x}
  • x\leq -\frac{2}{1+x}\: \Leftrightarrow \: x+\frac{2}{x+1}\leq 0\: \Leftrightarrow \: \frac{x(x+1)+2}{x+1}\leq 0\: \Leftrightarrow \: \frac{x^{2}+x+2}{x+1}\leq 0\: \Leftrightarrow \: \frac{definit\:\: positif}{x+1}\leq 0\: \Leftrightarrow \: x< -1, atau
  • x\geq \frac{2}{1+x}\: \Leftrightarrow \: x-\frac{2}{x+1}\geq 0\: \Leftrightarrow \: \frac{x(x+1)-2}{x+1}\geq 0\: \Leftrightarrow \: \frac{x^{2}+x-2}{x+1}\geq 0\: \Leftrightarrow \: \frac{(x+2)(x-1)}{x+1}\geq 0\: \Leftrightarrow \: -2\leq x< -1\: \: atau\: \: x\geq 1
Jadi, penyelesaiannya adalah x< -1\: \: atau\: \: x\geq 1
 Sumber:https://ahmadthohir1089.wordpress.com

0 Response to " "

Posting Komentar

Langganan: Posting Komentar (Atom)